Regra de Cramer (sistema 3x3)

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$$\Delta = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} \quad x = \frac{\Delta_x}{\Delta}, \quad y = \frac{\Delta_y}{\Delta}, \quad z = \frac{\Delta_z}{\Delta}$$

⚡ Calculadora desta Fórmula

Preencha os valores conhecidos da questão. Ao preencher todas as variáveis menos uma, a calculadora resolve a incógnita restante automaticamente com o passo a passo.

x — primeira incógnita do sistema (adimensional / conforme problema)

y — segunda incógnita do sistema (adimensional / conforme problema)

z — terceira incógnita do sistema (adimensional / conforme problema)

\Delta — determinante da matriz dos coeficientes (adimensional / conforme problema)

\Delta_x — determinante auxiliar para x (adimensional / conforme problema)

\Delta_y — determinante auxiliar para y (adimensional / conforme problema)

\Delta_z — determinante auxiliar para z (adimensional / conforme problema)

🎯 O que é e para que serve?

A Regra de Cramer resolve sistemas lineares de três equações e três incógnitas usando apenas determinantes, sem precisar substituir equações umas nas outras. Ela funciona sempre que o determinante da matriz dos coeficientes é diferente de zero, garantindo solução única. É muito usada porque organiza o processo de forma direta: basta montar quatro determinantes e dividir. Δ é calculado diretamente a partir da matriz de coeficientes (ex.: pela Regra de Sarrus), não isolado de outra equação. Δ ≠ 0 garante solução única; quando Δ = 0, é preciso analisar a compatibilidade do sistema separadamente para distinguir entre sistema impossível e sistema com infinitas soluções.

📐 Variáveis e Unidades de Medida

Confira o que significa cada símbolo da fórmula e como identificá-los nos enunciados:

Símbolo	Nome	Unidade	Significado	Como Identificar
`x`	primeira incógnita do sistema	`adimensional / conforme problema`	É o valor da primeira variável (geralmente x) que satisfaz simultaneamente as três equações do sistema.	É uma das três incógnitas do sistema linear, calculada dividindo o determinante Δx (matriz dos coeficientes com a 1ª coluna trocada pelos termos independentes) pelo determinante Δ da matriz de coeficientes.
`y`	segunda incógnita do sistema	`adimensional / conforme problema`	É o valor da segunda variável (geralmente y) que satisfaz simultaneamente as três equações do sistema.	É calculada dividindo o determinante Δy (matriz dos coeficientes com a 2ª coluna trocada pelos termos independentes) pelo determinante Δ da matriz de coeficientes.
`z`	terceira incógnita do sistema	`adimensional / conforme problema`	É o valor da terceira variável (geralmente z) que satisfaz simultaneamente as três equações do sistema.	É calculada dividindo o determinante Δz (matriz dos coeficientes com a 3ª coluna trocada pelos termos independentes) pelo determinante Δ da matriz de coeficientes.
`\Delta`	determinante da matriz dos coeficientes	`adimensional / conforme problema`	É o determinante formado pelos coeficientes das três variáveis nas três equações do sistema, sem incluir os termos independentes.	Monte a matriz 3x3 com os coeficientes de x, y e z (cada linha é uma equação) e calcule seu determinante, por exemplo usando a Regra de Sarrus. Se Δ = 0, a Regra de Cramer não pode ser aplicada dessa forma (sistema indeterminado ou impossível).
`\Delta_x`	determinante auxiliar para x	`adimensional / conforme problema`	É o determinante obtido substituindo a coluna dos coeficientes de x pela coluna dos termos independentes do sistema.	Pegue a matriz de coeficientes original e troque a 1ª coluna (coeficientes de x) pelos valores do lado direito das equações (termos independentes); depois calcule o determinante dessa nova matriz.
`\Delta_y`	determinante auxiliar para y	`adimensional / conforme problema`	É o determinante obtido substituindo a coluna dos coeficientes de y pela coluna dos termos independentes do sistema.	Pegue a matriz de coeficientes original e troque a 2ª coluna (coeficientes de y) pelos termos independentes; depois calcule o determinante dessa nova matriz.
`\Delta_z`	determinante auxiliar para z	`adimensional / conforme problema`	É o determinante obtido substituindo a coluna dos coeficientes de z pela coluna dos termos independentes do sistema.	Pegue a matriz de coeficientes original e troque a 3ª coluna (coeficientes de z) pelos termos independentes; depois calcule o determinante dessa nova matriz.

📝 Passo a Passo de Como Resolver

1. Monte a matriz dos coeficientes do sistema (uma linha por equação, uma coluna por variável) e calcule seu determinante Δ, por exemplo usando a Regra de Sarrus. 2. Se Δ ≠ 0, o sistema tem solução única. Construa Δx substituindo a coluna dos coeficientes de x pela coluna dos termos independentes, e calcule esse determinante. 3. Repita o processo para Δy (substituindo a coluna de y) e Δz (substituindo a coluna de z). 4. Calcule cada incógnita dividindo o determinante correspondente por Δ: x = Δx/Δ, y = Δy/Δ, z = Δz/Δ.

🔄 Variações Algébricas (Isolando Incógnitas)

Dependendo da questão, você precisará encontrar outra variável além da principal:

Isolando x

$$x = \frac{\Delta_x}{\Delta} \quad (\Delta \neq 0)$$

Isolando y

$$y = \frac{\Delta_y}{\Delta} \quad (\Delta \neq 0)$$

Isolando z

$$z = \frac{\Delta_z}{\Delta} \quad (\Delta \neq 0)$$

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