Sistema linear 2x2 (substituição) — Calculadora Online, Fórmula e Passo a Passo

$$\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}$$

⚡ Calculadora desta Fórmula

Preencha os valores conhecidos da questão. Ao preencher todas as variáveis menos uma, a calculadora resolve a incógnita restante automaticamente com o passo a passo.

a_1 — coeficiente de x na 1ª equação (adimensional / conforme problema)

b_1 — coeficiente de y na 1ª equação (adimensional / conforme problema)

c_1 — termo independente da 1ª equação (adimensional / conforme problema)

a_2 — coeficiente de x na 2ª equação (adimensional / conforme problema)

b_2 — coeficiente de y na 2ª equação (adimensional / conforme problema)

c_2 — termo independente da 2ª equação (adimensional / conforme problema)

x — primeira incógnita (adimensional / conforme problema)

y — segunda incógnita (adimensional / conforme problema)

🎯 O que é e para que serve?

Um sistema linear 2x2 é um conjunto de duas equações do 1º grau com duas incógnitas (x e y) que devem ser satisfeitas ao mesmo tempo. O método da substituição resolve esse sistema isolando uma variável em uma das equações e substituindo essa expressão na outra, transformando o problema em uma equação com apenas uma incógnita. É muito usado para encontrar o ponto de encontro entre duas retas ou resolver problemas com duas condições simultâneas. Quando o determinante a_1b_2 - a_2b_1 é diferente de zero, o sistema tem exatamente uma solução (possível e determinado). Se esse determinante for zero (coeficientes proporcionais, a_1b_2 = a_2b_1), o sistema pode ser impossível ou ter infinitas soluções: teste a proporcionalidade cruzada com os termos independentes — se também a_1c_2 = a_2c_1 e b_1c_2 = b_2c_1, há infinitas soluções (sistema dependente); se os coeficientes são proporcionais mas os termos independentes não seguem essa mesma proporção, o sistema é impossível.

📐 Variáveis e Unidades de Medida

Confira o que significa cada símbolo da fórmula e como identificá-los nos enunciados:

Símbolo	Nome	Unidade	Significado	Como Identificar
`a_1`	coeficiente de x na 1ª equação	`adimensional / conforme problema`	Número que multiplica a incógnita x na primeira equação do sistema.	É o valor que acompanha x na primeira linha do sistema.
`b_1`	coeficiente de y na 1ª equação	`adimensional / conforme problema`	Número que multiplica a incógnita y na primeira equação do sistema.	É o valor que acompanha y na primeira linha do sistema.
`c_1`	termo independente da 1ª equação	`adimensional / conforme problema`	Valor constante do lado direito da primeira equação.	É o número isolado (sem x ou y) na primeira linha do sistema.
`a_2`	coeficiente de x na 2ª equação	`adimensional / conforme problema`	Número que multiplica a incógnita x na segunda equação do sistema.	É o valor que acompanha x na segunda linha do sistema.
`b_2`	coeficiente de y na 2ª equação	`adimensional / conforme problema`	Número que multiplica a incógnita y na segunda equação do sistema.	É o valor que acompanha y na segunda linha do sistema.
`c_2`	termo independente da 2ª equação	`adimensional / conforme problema`	Valor constante do lado direito da segunda equação.	É o número isolado (sem x ou y) na segunda linha do sistema.
`x`	primeira incógnita	`adimensional / conforme problema`	Valor de x que satisfaz as duas equações ao mesmo tempo.	É uma das variáveis que você quer descobrir ao resolver o sistema.
`y`	segunda incógnita	`adimensional / conforme problema`	Valor de y que satisfaz as duas equações ao mesmo tempo.	É a outra variável que você quer descobrir ao resolver o sistema.

📝 Passo a Passo de Como Resolver

1) Escolha uma das equações e isole uma das variáveis, usando uma que tenha coeficiente diferente de zero (por exemplo, isole x na primeira equação, deixando-o em função de y). 2) Substitua essa expressão no lugar dessa variável na outra equação — agora você terá uma equação com uma só incógnita. 3) Resolva essa equação e encontre o valor numérico dessa incógnita. 4) Substitua o valor encontrado de volta na expressão isolada do passo 1 para descobrir o valor da outra variável. 5) Confira a resposta substituindo os dois valores nas duas equações originais. Se, ao substituir, a equação se reduzir a uma identidade do tipo 0 = 0, o sistema é possível e indeterminado (infinitas soluções); se der uma contradição do tipo 0 = k (k ≠ 0), o sistema é impossível (nenhuma solução) — não existe um valor numérico a se encontrar nesses casos.

🔄 Variações Algébricas (Isolando Incógnitas)

Dependendo da questão, você precisará encontrar outra variável além da principal:

Isolando x

$$x = \dfrac{c_1b_2 - c_2b_1}{a_1b_2 - a_2b_1} \quad (a_1b_2 - a_2b_1 \neq 0;\ \text{forma fechada equivalente à Regra de Cramer — um atalho, não o método de substituição explicado no passo a passo})$$

Isolando y

$$y = \dfrac{a_1c_2 - a_2c_1}{a_1b_2 - a_2b_1} \quad (a_1b_2 - a_2b_1 \neq 0;\ \text{forma fechada equivalente à Regra de Cramer — um atalho, não o método de substituição explicado no passo a passo})$$

🔗 Fórmulas Correlatas no CalculAI

Regra de Cramer (sistema 2x2)

É outro método pra resolver o mesmo tipo de sistema, usando determinantes em vez de substituição.

Ver fórmula →

Determinante de matriz 2x2

O determinante da matriz de coeficientes aparece no denominador das fórmulas de x e y quando o sistema é resolvido de forma geral.

Ver fórmula →

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