Determinante de matriz 3x3 (regra de Sarrus)

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$$\text{Det}(A) = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33}$$

💡 Sobre a Aplicação desta Fórmula

Esta fórmula representa uma identidade matemática, teorema ou propriedade conceitual. Para resolver equações numéricas passo a passo, explore as fórmulas correlatas abaixo ou utilize a Calculadora Científica Online.

🎯 O que é e para que serve?

A regra de Sarrus é um método prático para calcular o determinante de uma matriz 3x3 sem precisar usar cofatores. O determinante é um número que resume propriedades importantes da matriz, usado para saber se um sistema linear tem solução única, calcular volumes de paralelepípedos formados por vetores, e verificar se vetores no espaço são linearmente independentes. É uma ferramenta essencial em Álgebra Linear e em aplicações de Geometria Analítica. A regra de Sarrus só vale para matrizes 3×3 — não existe uma extensão direta dela para matrizes de ordem maior (para essas, usa-se expansão por cofatores ou eliminação de Gauss).

📐 Variáveis e Unidades de Medida

Confira o que significa cada símbolo da fórmula e como identificá-los nos enunciados:

Símbolo	Nome	Unidade	Significado	Como Identificar
`\text{Det}(A)`	determinante da matriz A	`adimensional / conforme problema`	É o resultado final do cálculo — um único número que representa a matriz 3x3 como um todo, usado para diversas aplicações como resolver sistemas e calcular volumes	É o valor que você quer descobrir; calculado a partir de todos os 9 elementos da matriz
`a_{11}, a_{22}, a_{33}`	elementos da diagonal principal	`adimensional / conforme problema`	São os elementos que formam a diagonal principal da matriz, indo do canto superior esquerdo ao canto inferior direito	Localize os valores nas posições (linha 1, coluna 1), (linha 2, coluna 2) e (linha 3, coluna 3) da matriz
`a_{12}, a_{23}, a_{31}`	elementos da primeira diagonal secundária (produto positivo)	`adimensional / conforme problema`	São os elementos que, multiplicados entre si, formam um dos três produtos somados na regra de Sarrus, seguindo uma diagonal 'quebrada' que começa na primeira linha	Localize os valores nas posições (1,2), (2,3) e (3,1) da matriz
`a_{13}, a_{21}, a_{32}`	elementos da segunda diagonal secundária (produto positivo)	`adimensional / conforme problema`	São os elementos que, multiplicados entre si, formam outro dos três produtos somados na regra de Sarrus	Localize os valores nas posições (1,3), (2,1) e (3,2) da matriz
`a_{13}, a_{22}, a_{31}`	elementos da diagonal secundária principal (produto negativo)	`adimensional / conforme problema`	São os elementos da diagonal secundária da matriz (do canto superior direito ao canto inferior esquerdo), cujo produto é subtraído no cálculo	Localize os valores nas posições (1,3), (2,2) e (3,1) da matriz
`a_{11}, a_{23}, a_{32}`	elementos de diagonal cruzada (produto negativo)	`adimensional / conforme problema`	São elementos que formam um dos dois produtos cruzados restantes, subtraídos no cálculo do determinante	Localize os valores nas posições (1,1), (2,3) e (3,2) da matriz
`a_{12}, a_{21}, a_{33}`	elementos de diagonal cruzada (produto negativo)	`adimensional / conforme problema`	São elementos que formam o último dos produtos cruzados subtraídos no cálculo do determinante	Localize os valores nas posições (1,2), (2,1) e (3,3) da matriz

📝 Passo a Passo de Como Resolver

1. Escreva a matriz 3x3 e, ao lado direito dela, repita as duas primeiras colunas (esse é o 'truque' visual da regra de Sarrus). 2. Identifique as três diagonais que descem da esquerda para a direita (incluindo as colunas repetidas): a_11·a_22·a_33, a_12·a_23·a_31 e a_13·a_21·a_32. Multiplique os elementos de cada uma e some os três resultados. 3. Identifique as três diagonais que sobem da esquerda para a direita (também usando as colunas repetidas): a_13·a_22·a_31, a_11·a_23·a_32 e a_12·a_21·a_33. Multiplique os elementos de cada uma. 4. Subtraia a soma das diagonais que sobem (passo 3) da soma das diagonais que descem (passo 2). O resultado é o determinante Det(A).

🔄 Variações Algébricas (Isolando Incógnitas)

Dependendo da questão, você precisará encontrar outra variável além da principal:

Não há variações algébricas adicionais para esta fórmula.

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📝 Passo a Passo de Como Resolver

🔄 Variações Algébricas (Isolando Incógnitas)

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