⚡ Calculadora desta Fórmula
Preencha os valores conhecidos da questão. Ao preencher todas as variáveis menos uma, a calculadora resolve a incógnita restante automaticamente com o passo a passo.
🎯 O que é e para que serve?
A regra da cadeia serve para derivar funções compostas, ou seja, uma função 'dentro' de outra, como y = f(g(x)). Em vez de tentar derivar tudo de uma vez, ela permite quebrar o problema em partes mais simples: deriva-se a função externa e a interna separadamente e depois multiplicam-se os resultados. É essencial sempre que uma quantidade depende de outra que, por sua vez, depende de uma terceira variável. Nota: tratar dy/du e du/dx como frações que se cancelam é um mnemônico útil, mas é só isso — um mnemônico. Formalmente, a regra da cadeia é um teorema sobre composição de funções diferenciáveis (dy/dx = (dy/du)·(du/dx) vale desde que f seja diferenciável em u=g(x) e g seja diferenciável em x), e não depende de nenhuma "não anulação" das derivadas envolvidas — a notação de fração não deve ser usada para justificar a regra, só para ajudar a lembrá-la.
🌍 Onde você vê essa fórmula na prática
Essencial para derivar funções compostas, onde uma variável depende de um estágio intermediário. É o algoritmo base de retropropagação (backpropagation) usado no treinamento de redes neurais artificiais para calcular o gradiente do erro camada por camada.
📐 Variáveis e Unidades de Medida
Confira o que significa cada símbolo da fórmula e como identificá-los nos enunciados:
| Símbolo | Nome | Unidade | Significado | Como Identificar |
|---|---|---|---|---|
| $y$ | função composta | Depende do contexto do problema. |
É a função final, resultado de compor a função externa f com a função interna g, ou seja, y = f(g(x)). | É a expressão que você quer derivar, escrita como uma função de outra função — por exemplo, y = sen(x²) ou y = (3x+1)^5. |
| $u$ | função interna (variável auxiliar) | Depende do contexto do problema. |
É a função 'de dentro', u = g(x), que serve de entrada para a função externa f. | É a parte da expressão que está 'dentro' de outra função, geralmente dentro de parênteses, de uma raiz, de um expoente, de sen(), cos(), ln(), etc. Ex: em y = sen(x²), u = x². |
| $\frac{dy}{dx}$ | derivada de y em relação a x | Depende do contexto: se y e x são grandezas físicas, a unidade é (unidade de y)/(unidade de x). |
Representa a taxa de variação de y em relação a x, ou seja, a inclinação da reta tangente ao gráfico da função composta em cada ponto. | É o resultado final que se quer encontrar quando se deriva y = f(g(x)) diretamente em relação a x. |
| $\frac{dy}{du}$ | derivada da função externa | Depende do contexto do problema. |
É a derivada de f em relação à variável u, tratando u como se fosse a variável independente. | Calcule normalmente a derivada de f(u), aplicando as regras de derivação usuais (potência, seno, exponencial etc.), mas em relação a u, não a x. |
| $\frac{du}{dx}$ | derivada da função interna | Depende do contexto do problema. |
É a derivada de g em relação a x, ou seja, como a função interna varia conforme x varia. | Derive a expressão que está 'dentro' da função externa, usando as regras de derivação em relação a x. |
📝 Passo a Passo de Como Resolver
1. Identifique a função composta y = f(g(x)) e defina a função interna como u = g(x). 2. Reescreva a função externa em termos de u: y = f(u). 3. Derive a função externa em relação a u, obtendo dy/du. 4. Derive a função interna em relação a x, obtendo du/dx. 5. Multiplique os dois resultados: dy/dx = (dy/du) · (du/dx). 6. Substitua u de volta pela expressão original g(x) para escrever a resposta final em termos de x.
🧮 Exemplo Prático Resolvido Passo a Passo
Veja como os dados são aplicados na fórmula com um problema numérico resolvido do início ao fim:
Derive a função y = (3x² + 1)⁴: 1. Defina a variável interna: u = 3x² + 1. A função externa fica y = u⁴. 2. Derive a função externa em relação a u: dy/du = 4u³. 3. Derive a função interna em relação a x: du/dx = 6x. 4. Multiplique as duas derivadas: dy/dx = (4u³) · (6x) = 24x · u³. 5. Substitua u de volta pela expressão em x: dy/dx = 24x(3x² + 1)³.
A taxa com que y varia em relação a x é amplificada pela sensibilidade da casca externa combinada com a velocidade de resposta do mecanismo interno.
⚠️ Armadilhas e Erros Mais Comuns de Estudantes
Fique atento a estes pontos em provas e exercícios para não perder pontuação por desatenção:
Derivar apenas a casca externa da função e esquecer de multiplicar pela derivada do termo interno (escrever apenas 4(3x²+1)³ e perder o fator 6x).
🔄 Variações Algébricas (Isolando Incógnitas)
Dependendo da questão, você precisará encontrar outra variável além da principal:
🔗 Fórmulas Correlatas no CalculAI
Derivada — regra da potência
A regra da cadeia costuma ser usada junto com a regra da potência quando a função interna está elevada a um expoente, como em (g(x))^n.
Ver fórmula →Derivada — regra do produto
Em funções que envolvem produto de funções compostas, é comum combinar a regra da cadeia com a regra do produto.
Ver fórmula →Derivada — regra do quociente
Quando a função composta aparece dentro de uma divisão, combine a regra da cadeia com a regra do quociente.
Ver fórmula →Pronto para resolver seus exercícios?
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