Produto escalar (por módulos e ângulo) — Calculadora Online, Fórmula e Passo a Passo

$$\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}||\vec{v}|\cos(\theta)$$

⚡ Calculadora desta Fórmula

Preencha os valores conhecidos da questão. Ao preencher todas as variáveis menos uma, a calculadora resolve a incógnita restante automaticamente com o passo a passo.

\vec{u} \cdot \vec{v} — produto escalar (depende do contexto)

|\vec{u}| — módulo do vetor u (depende do contexto (≥ 0))

|\vec{v}| — módulo do vetor v (depende do contexto (≥ 0))

\theta — ângulo entre os vetores (graus (°) ou radianos, 0° ≤ θ ≤ 180°)

🎯 O que é e para que serve?

Calcula o produto escalar usando geometria (módulos e ângulo) em vez de componentes — mostra que o produto escalar é zero quando os vetores são perpendiculares (θ=90°) e máximo quando são paralelos (θ=0°).

📐 Variáveis e Unidades de Medida

Confira o que significa cada símbolo da fórmula e como identificá-los nos enunciados:

Símbolo	Nome	Unidade	Significado	Como Identificar
`\vec{u} \cdot \vec{v}`	produto escalar	`depende do contexto`	É o produto escalar entre os vetores u e v.	É o que se quer calcular a partir dos módulos dos vetores e do ângulo entre eles.
`\|\vec{u}\|`	módulo do vetor u	`depende do contexto (≥ 0)`	É o comprimento (norma) do vetor u.	É a magnitude de u, sem direção.
`\|\vec{v}\|`	módulo do vetor v	`depende do contexto (≥ 0)`	É o comprimento (norma) do vetor v.	É a magnitude de v, sem direção.
`\theta`	ângulo entre os vetores	`graus (°) ou radianos, 0° ≤ θ ≤ 180°`	É o ângulo formado entre as direções de u e v.	É o ângulo entre os dois vetores, medido entre 0° e 180°.

📝 Passo a Passo de Como Resolver

1. Identifique os módulos |u| e |v| e o ângulo θ entre os vetores. 2. Multiplique os dois módulos. 3. Multiplique por cos(θ).

🔄 Variações Algébricas (Isolando Incógnitas)

Dependendo da questão, você precisará encontrar outra variável além da principal:

Isolando \theta

$$\theta = \arccos\left(\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}\right) \quad (|\vec{u}|,|\vec{v}| \neq 0;\ \left|\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}\right| \leq 1)$$

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Produto escalar (por componentes)

O mesmo produto escalar pode ser calculado diretamente pelas componentes dos vetores, sem precisar do ângulo.

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Trabalho de uma força

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