Modelo exponencial contínuo — Calculadora Online, Fórmula e Passo a Passo

$$N(t) = N_0 e^{kt}$$

⚡ Calculadora desta Fórmula

Preencha os valores conhecidos da questão. Ao preencher todas as variáveis menos uma, a calculadora resolve a incógnita restante automaticamente com o passo a passo.

N(t) — quantidade no instante t (depende do contexto)

N_0 — quantidade inicial (mesma unidade de N(t))

k — taxa de crescimento contínua (1/(unidade de tempo))

t — tempo (unidade de tempo compatível com k)

🎯 O que é e para que serve?

É o modelo padrão de crescimento/decaimento contínuo usado em cálculo, biologia, física e economia, derivado da equação diferencial dN/dt = kN. k > 0 dá crescimento, k < 0 dá decaimento, k = 0 mantém N constante.

📐 Variáveis e Unidades de Medida

Confira o que significa cada símbolo da fórmula e como identificá-los nos enunciados:

Símbolo	Nome	Unidade	Significado	Como Identificar
`N(t)`	quantidade no instante t	`depende do contexto`	É o valor da grandeza no instante t, num modelo de crescimento/decaimento contínuo (taxa proporcional instantânea).	É o que se quer calcular, ou o dado usado para achar N0, k ou t.
`N_0`	quantidade inicial	`mesma unidade de N(t)`	É o valor da grandeza no instante t = 0.	É o valor inicial dado no problema.
`k`	taxa de crescimento contínua	`1/(unidade de tempo)`	É a taxa instantânea de variação — positiva indica crescimento, negativa indica decaimento.	É a constante que aparece no expoente, dada no problema ou calculada a partir de dois pontos conhecidos.
`t`	tempo	`unidade de tempo compatível com k`	É o tempo decorrido.	É o tempo dado no enunciado.

📝 Passo a Passo de Como Resolver

1. Identifique N0, a taxa contínua k (com sinal) e o tempo t. 2. Calcule kt. 3. Calcule e elevado a kt. 4. Multiplique por N0.

🔄 Variações Algébricas (Isolando Incógnitas)

Dependendo da questão, você precisará encontrar outra variável além da principal:

Isolando k

$$k = \dfrac{\ln(N(t)/N_0)}{t} \quad (N_0 \neq 0,\ N(t)/N_0 > 0,\ t \neq 0)$$

Isolando t

$$t = \dfrac{\ln(N(t)/N_0)}{k} \quad (N_0 \neq 0,\ N(t)/N_0 > 0,\ k \neq 0)$$

Isolando N_0

$$N_0 = \dfrac{N(t)}{e^{kt}} = N(t)\,e^{-kt}$$

🔗 Fórmulas Correlatas no CalculAI

Crescimento exponencial (taxa percentual)

É a versão contínua do crescimento exponencial por taxa percentual — relacionam-se por e^k = 1+r.

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Decaimento radioativo (lei exponencial)

O decaimento radioativo é exatamente esse modelo com k = -λ (λ é a constante de decaimento, sempre positiva).

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