Crescimento exponencial (taxa percentual) — Calculadora Online, Fórmula e Passo a Passo

$$N(t) = N_0(1+r)^t$$

⚡ Calculadora desta Fórmula

Preencha os valores conhecidos da questão. Ao preencher todas as variáveis menos uma, a calculadora resolve a incógnita restante automaticamente com o passo a passo.

N(t) — quantidade no instante t (depende do contexto)

N_0 — quantidade inicial (mesma unidade de N(t))

r — taxa de crescimento (adimensional, na forma decimal (ex.: 0,05 para 5%))

t — tempo (unidade de tempo compatível com r)

🎯 O que é e para que serve?

Modela crescimento populacional, financeiro ou de qualquer grandeza que aumenta por uma taxa percentual fixa a cada período. Exige r > -1 para a base (1+r) ser positiva; para r > 0, a função é sempre crescente. É um modelo de tempo discreto (a taxa r se aplica por período inteiro, ex: ano a ano) — diferente do modelo contínuo (N(t)=N_0·e^{kt}), onde k é uma taxa instantânea; os dois descrevem crescimento exponencial, mas r (discreto) e k (contínuo) não são o mesmo número, mesmo para o "mesmo" crescimento.

📐 Variáveis e Unidades de Medida

Confira o que significa cada símbolo da fórmula e como identificá-los nos enunciados:

Símbolo	Nome	Unidade	Significado	Como Identificar
`N(t)`	quantidade no instante t	`depende do contexto`	É o valor da grandeza depois de decorrido o tempo t.	É o que se quer calcular, ou o dado usado para achar N0, r ou t.
`N_0`	quantidade inicial	`mesma unidade de N(t)`	É o valor da grandeza no instante t = 0.	É o valor inicial dado no problema.
`r`	taxa de crescimento	`adimensional, na forma decimal (ex.: 0,05 para 5%)`	É a taxa de crescimento por unidade de tempo, na forma decimal e positiva.	É a taxa percentual de aumento dada no enunciado, convertida para decimal.
`t`	tempo	`unidade de tempo compatível com r`	É o número de períodos decorridos.	É o tempo dado no enunciado, na mesma unidade da taxa r.

📝 Passo a Passo de Como Resolver

1. Identifique a quantidade inicial N0 e a taxa de crescimento r (em decimal, r > 0). 2. Calcule (1+r) elevado a t. 3. Multiplique por N0.

🔄 Variações Algébricas (Isolando Incógnitas)

Dependendo da questão, você precisará encontrar outra variável além da principal:

Isolando r

$$r = \left(\dfrac{N(t)}{N_0}\right)^{1/t} - 1 \quad (N_0 \neq 0,\ N(t)/N_0 > 0,\ t \neq 0)$$

Isolando t

$$t = \dfrac{\log(N(t)/N_0)}{\log(1+r)} \quad (N_0 \neq 0,\ N(t)/N_0 > 0,\ r > -1,\ r \neq 0)$$

Isolando N_0

$$N_0 = \dfrac{N(t)}{(1+r)^t} \quad (r \neq -1)$$

🔗 Fórmulas Correlatas no CalculAI

Decaimento exponencial (taxa percentual)

É a fórmula 'irmã', usada quando a grandeza diminui (fator 1-r) em vez de crescer.

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Juros compostos (montante)

É matematicamente a mesma estrutura dos juros compostos, com N0 no papel do capital C e r no papel da taxa i.

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