⚡ Calculadora desta Fórmula
Preencha os valores conhecidos da questão. Ao preencher todas as variáveis menos uma, a calculadora resolve a incógnita restante automaticamente com o passo a passo.
🎯 O que é e para que serve?
Essa fórmula serve para combinar duas matrizes e obter uma terceira, muito usada para representar transformações lineares, resolver sistemas de equações, rotacionar e escalar objetos em computação gráfica, e modelar relações entre múltiplas variáveis de uma vez só. Diferente da multiplicação de números comuns, cada elemento do resultado é uma soma de produtos entre uma linha da primeira matriz e uma coluna da segunda. É essencial que o número de colunas de A seja igual ao número de linhas de B para que a operação seja possível. Os índices variam em i = 1,...,m; j = 1,...,p; k = 1,...,n, com A de dimensão m×n, B de dimensão n×p e C de dimensão m×p. Atenção: a multiplicação de matrizes não é comutativa em geral — AB ≠ BA, e BA pode nem existir (ex.: um contraexemplo simples com matrizes 2×2 já mostra isso).
🌍 Onde você vê essa fórmula na prática
Executa transformações geométricas e rotações em computação gráfica 3D, cálculos de rotas em grafos de redes e combinação linear de insumos em matrizes de insumo-produto na economia.
📐 Variáveis e Unidades de Medida
Confira o que significa cada símbolo da fórmula e como identificá-los nos enunciados:
| Símbolo | Nome | Unidade | Significado | Como Identificar |
|---|---|---|---|---|
| $A$ | primeira matriz (fator à esquerda) | adimensional / conforme problema |
matriz de dimensão m × n cujas linhas serão combinadas com as colunas de B | é a matriz que aparece à esquerda do sinal de multiplicação; seu número de colunas deve ser igual ao número de linhas de B |
| $B$ | segunda matriz (fator à direita) | adimensional / conforme problema |
matriz de dimensão n × p cujas colunas serão combinadas com as linhas de A | é a matriz que aparece à direita do sinal de multiplicação; seu número de linhas deve ser igual ao número de colunas de A |
| $C$ | matriz produto (resultado) | adimensional / conforme problema |
matriz resultante de dimensão m × p, onde cada elemento é a soma dos produtos entre uma linha de A e uma coluna de B | é a matriz obtida após realizar a multiplicação; tem o número de linhas de A e o número de colunas de B |
| $A_{ik}$ | elemento da matriz A | adimensional / conforme problema |
número localizado na linha i e coluna k da matriz A | índice i indica a linha, índice k indica a coluna dentro de A |
| $B_{kj}$ | elemento da matriz B | adimensional / conforme problema |
número localizado na linha k e coluna j da matriz B | índice k indica a linha, índice j indica a coluna dentro de B |
| $C_{ij}$ | elemento da matriz C | adimensional / conforme problema |
número localizado na linha i e coluna j da matriz resultante C, calculado somando os produtos A_{ik} \cdot B_{kj} para todo k | índice i indica a linha, índice j indica a coluna dentro de C |
📝 Passo a Passo de Como Resolver
1) Verifique se o número de colunas da matriz A é igual ao número de linhas da matriz B; se não for, a multiplicação não é possível. 2) Para calcular o elemento da linha i e coluna j da matriz resultado C, pegue a linha i de A e a coluna j de B. 3) Multiplique cada elemento da linha de A pelo elemento correspondente da coluna de B (posição a posição) e some todos os produtos: esse valor é C_{ij}. 4) Repita o processo para todas as combinações possíveis de linha de A e coluna de B, preenchendo cada posição da matriz C. 5) O resultado final é a matriz C, com número de linhas igual ao de A e número de colunas igual ao de B.
🧮 Exemplo Prático Resolvido Passo a Passo
Veja como os dados são aplicados na fórmula com um problema numérico resolvido do início ao fim:
Multiplique a matriz linha A = [2 3] (1×2) pela matriz coluna B = [[4], [5]] (2×1): 1. Confira a compatibilidade: colunas de A (2) = linhas de B (2). O resultado será 1×1. 2. Multiplique os elementos correspondentes e some: (2 · 4) + (3 · 5). 3. Calcule: 8 + 15 = 23. 4. Matriz produto: C = [23].
O produto matricial combina a linha de pesos [2, 3] com a coluna de quantidades [4, 5], totalizando o valor agregado de 23.
⚠️ Armadilhas e Erros Mais Comuns de Estudantes
Fique atento a estes pontos em provas e exercícios para não perder pontuação por desatenção:
Multiplicar os termos posição por posição como na soma de matrizes (fazendo [2·4, 3·5]), ou tentar multiplicar matrizes onde o número de colunas da primeira é diferente do número de linhas da segunda.
🔄 Variações Algébricas (Isolando Incógnitas)
Dependendo da questão, você precisará encontrar outra variável além da principal:
🔗 Fórmulas Correlatas no CalculAI
Determinante de matriz 2x2
Depois de multiplicar matrizes, é comum precisar calcular o determinante do resultado — mas isso só faz sentido quando C é quadrada (m = p); nesse caso vale det(AB) = det(A)·det(B), se A e B também forem quadradas.
Ver fórmula →Matriz inversa 2x2
A matriz inversa é usada junto com a multiplicação de matrizes para resolver sistemas lineares e desfazer transformações.
Ver fórmula →Regra de Cramer (sistema 2x2)
Multiplicação de matrizes e a regra de Cramer são duas formas de lidar com sistemas lineares representados matricialmente.
Ver fórmula →Pronto para resolver seus exercícios?
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